Descriptions are unhelpful as ever, but let's see...
クリアおめでとう! (Congrats on clearing)
Finish Live Quest maybe?
クリスタルのかがやき (Shining crystal)
Fill up all the crystals in Live Quest, I'm guessing.
1000万ボルテージ (10 million voltage)
This is self explanatory
イベントマスター (Event master)
Clear Event Quest, probably.
Edit: Or get all room events.
上級プレイヤー (Senior player)
Clear all songs on Hard, I'm guessing.
ステージマスター (Stage master)
ルームマスター (Room master)
プレゼントマスター (Present master)
イラストマスター (Illustration master)
Unlock all the things.
ミククラスタ (Miku cluster)
リンクラスタ (Rin cluster)
レンクラスタ (Len cluster)
ルカクラスタ (Luka cluster)
KAITOクラスタ (Kaito cluster)
MEIKOクラスタ (Meiko cluster)
Become pals with insert name here.
クリスタルのささやき (Whispering crystal)
Probably connected to Shining crystal progress.
クリスタルのまたたき (Blinking crystal)
Same as above.
100万ボルテージ (1 million voltage)
Obvious.
中級プレイヤー (Intermediate player)
Clear all songs on Normal?
映像監督 (Video director)
Watch all PVs.
ようこそ、DIVAへ! (Welcome to DIVA!)
Start the game.
はじめてのスペシャルライブ (First Special Live)
Do one Special Live.
クリスタルのひらめき (Inspiring crystal)
クリスタルのきらめき (Sparkling crystal)
クリスタルのゆらめき (Flickering crystal)
クリスタルのときめき (Heartpounding crystal)
Honestly I have no idea.
ミッション好き (I like missions)
Do a mission, probably??
チャレンジャー (Challenger)
Use a challenge item, I'm guessing.
パートナーはキミ (You're my partner)
I dunno.
フォトグラファー (Photographer)
Take a grainy snap with the Vita's sorry excuse for a camera.